Une équation différentielle (E.D.) d’ordre n est une équation :
• dont l’inconnue est une fonction y de variable x, n fois dérivable sur I ⊂ R;
• liant y et certaines de ses dérivées : y′, y′′, . . ., y(n) et éventuellement x.
• Résoudre une équations différentielle sur I, c’est déterminer l’ensemble des fonctions y dérivables sur I qui vérifient cette équation.
Soit f est une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I, une solution F de l’E.D. y′ = f(x). On a alors
:∀x ∈ I, F′(x) = f(x).
Exemples :
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = 2x.
F : x → x2 est une primitive de f sur R car F′(x) = 2x
Soit une fonction f admettant une primitive F sur I, alors toute primitive G de f sur I est de la forme : G = F + k, k ∈ R
Toute fonction continue sur I admet des primitives sur I.
Soit a ∈ R∗
. Les solutions de l’équation différentielle y′ = ay sont de la forme : y(x) = k eax, k ∈ R.
Soit x0, y0 ∈ R, il existe une unique solution f qui vérifie : f(x0) = y0.
