En mathématiques, la transformation de Laplace est une transformation intégrale qui, à une fonction f — définie sur les réels positifs et à valeurs réelles —, associe une nouvelle fonction F — définie sur les complexes et à valeurs complexes — dite transformée de Laplace de f.
De nombreuses opérations courantes sur la fonction originale f se traduisent par une opération algébrique sur la transformée F. Par exemple, la transformée de la dérivée 𝑓′ est la fonction 𝑝↦𝑝𝐹(𝑝)−𝑓(0).
De même, la transformée de 𝑡↦𝑓(𝑡−𝜏) est la fonction 𝑝↦𝑒−𝑝𝜏𝐹(𝑝) ;
La transformation de Laplace est linéaire, c’est-à-dire que quelles soient les fonctions f, g et deux nombres complexes a et b :
- . Cette linéarité découle évidemment de celle de l’intégrale.
La transformée de Laplace F(𝑝)=𝐿{𝑓(𝑡)} de 𝑓 est holomorphe et sa dérivée n-ième est F(𝑛)(𝑝)=(−1)𝑛𝐿{𝑡𝑛𝑓(𝑡)}.
Transformation de Laplace d’une dérivée
Appliquée à la dérivée 𝑓′ de f, la transformation de Laplace correspond, à une constante additive près, à une multiplication par p de la transformée : 𝐿{𝑓′}=𝑝𝐿{𝑓}−𝑓(0−)
