Exercices Corrigés sur le développement en Série de Fourier
Thème : Développement d’un signal en série de Fourier
1. Principe et conditions d’existence
Définition. Un signal x(t) périodique, de période T (pulsation ω = 2π/T, fréquence f₀ = 1/T), peut se décomposer en une somme de sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de f₀ : un terme constant (valeur moyenne), le fondamental (fréquence f₀) et les harmoniques (fréquences n·f₀). x(t) = a₀ + Σn=1∞ [ an cos(nωt) + bn sin(nωt) ]
Conditions de Dirichlet. Sur une période, x(t) doit être bornée, avoir un nombre fini de discontinuités et un nombre fini d’extrema. Les signaux usuels (carré, triangle, dent de scie, redressé, hachuré…) les vérifient.
Au point de discontinuité, la série converge vers la moyenne des limites à gauche et à droite (phénomène de Gibbs : dépassement d’environ 9 % qui ne disparaît pas quand le nombre de termes augmente).
2. Calcul des coefficients
a₀ = (1/T) ∫T x(t) dt (valeur moyenne)
an = (2/T) ∫T x(t) cos(nωt) dt
bn = (2/T) ∫T x(t) sin(nωt) dt
Forme amplitude-phase. x(t) = a₀ + Σ Cn cos(nωt − φn), avec Cn = √(an² + bn²) et φn = arctan(bn/an). Cn est l’amplitude de l’harmonique de rang n.
Forme complexe. x(t) = Σn=−∞+∞ cn ejnωt avec cn = (1/T) ∫T x(t) e−jnωt dt. Pour n > 0 : cn = (an − j bn)/2 et |cn| = Cn/2.
Simplifications par symétrie
| Propriété du signal | Conséquence |
|---|---|
| Paire : x(−t) = x(t) | bn = 0 (que des cosinus) |
| Impaire : x(−t) = −x(t) | a₀ = 0 et an = 0 (que des sinus) |
| Alternée : x(t + T/2) = −x(t) | a₀ = 0 et seuls les rangs impairs subsistent |
3. Spectre et puissance
Spectre de raies. Le spectre d’un signal périodique est discret : on trace l’amplitude Cn (et la phase φn) en fonction de la fréquence n·f₀. Plus les fronts du signal sont raides, plus le spectre s’étend loin en fréquence.
Valeur efficace et théorème de Parseval. La puissance du signal est la somme des puissances de ses composantes.
Xeff² = (1/T) ∫T x²(t) dt = a₀² + Σn≥1 Cn² / 2
Taux de distorsion harmonique (THD). Rapport de la valeur efficace des harmoniques (n ≥ 2) à celle du fondamental :
THD = √( Σn≥2 Cn² ) / C₁
4. Domaines d’application et utilité
Idée clé. Pour un système linéaire, la réponse à une somme de sinusoïdes est la somme des réponses à chaque sinusoïde (superposition). Décomposer un signal périodique en sinusoïdes permet donc d’utiliser les outils du régime sinusoïdal (impédances complexes, fonctions de transfert, diagramme de Bode) sur des signaux non sinusoïdaux.
| Domaine | Utilité de la série de Fourier |
|---|---|
| Électronique analogique et filtrage | Calculer la sortie d’un filtre (RC, RLC, Butterworth…) soumis à un signal carré, triangulaire ou redressé ; choisir une fréquence de coupure pour garder ou éliminer certains harmoniques. |
| Électronique de puissance et réseaux | Analyser les courants et tensions déformés (onduleurs, redresseurs, gradateurs, hacheurs) ; calculer le THD, les pertes et l’échauffement dus aux harmoniques ; dimensionner les filtres CEM. |
| Machines électriques et commande | Étudier les couples pulsatoires et les pertes supplémentaires dues aux harmoniques de la tension MLI d’un variateur ; ne retenir que le fondamental pour le modèle équivalent. |
| Télécommunications | Occupation spectrale d’un signal numérique, largeur de bande nécessaire, modulation. |
| Acoustique et audio | Timbre d’un instrument = ses harmoniques ; synthèse sonore, égalisation, compression. |
| Vibrations et mécanique | Identifier les fréquences d’excitation et de résonance d’une machine tournante ; maintenance prédictive. |
| Mesure et instrumentation | Principe des analyseurs de spectre et de la FFT des oscilloscopes pour diagnostiquer bruit, perturbations et distorsion. |
| Thermique et équations différentielles | Résolution de l’équation de la chaleur et des équations aux dérivées partielles par séparation de variables. |
Pour aller plus loin. Pour un signal non périodique, la série devient la transformée de Fourier (spectre continu), puis la TFD / FFT pour les signaux échantillonnés ; la transformée de Laplace généralise l’outil aux régimes transitoires.
